〖三角形中线长定理〗

△ABC中，AM为底边BC的中线，则中线平方的2倍等于俩邻边平方和与底边平方之半的差，即：

2AM²＝AB²＋AC²－BC²/2.

〖证明〗相关线段长标示如图。

在Rt△AMH中：

MH＝√(m²－h²)；

∴ 在Rt△ABH中[1]：

[a/2＋√(m²－h²)]²＋h²＝c²；

在Rt△ACH中[2]：

[a/2－√(m²－h²)]²＋h²＝b²；

∴ [1]＋[2]，整理得：

2m²＝b²＋c²－a²/2

即

2AM²＝AC²＋AB²－BC²/2.

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〖说明〗

当△ABC中，BC为定线段，A为动点，则中线长定理可以将两条动线段的平方和转换为一条动线段的平方发生关系。

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典型例题

如图矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E是以B为圆心，2为半径的圆上的动点，求AE²＋DE² 的最大值。

〖题目分析〗

取AD中点M，连接EM，由三角形中线长定理：

2EM²＝AE²＋DE²－AD²/2

题之问转化为求定点M到圆B上点的最大距离问题。连接MB交圆B于S，其延长线交圆B于N，则当E运动到N点，得 max(EM)＝MN＝BM+BN。

MN＝√(AB²＋AD²/4)＋BN＝7；

∴ max(AE²＋DE²)＝2MN²+AD²/2＝116.