本文介绍一种由默顿（1971）最先提出的动态最优投资问题，并在一种特殊的设定下（负指数效用函数，无消费，两种资产，有限期）给出问题的解析解。

模型设定

市场

假设市场上有两种资产，一种为风险资产（股票），其价格动态满足

dSt=μStdt+σStdzt

其中期望回报率和波动率μ,σ>0是常数, zt为布朗运动（注意文本中用z表示布朗运动，用W表示财富）。另外一种资产是无风险资产，其价格动态满足

dBt=rBtdt

其中r>0是常数，其含义为无风险利率。

投资者

假设投资者具有初始财富W0, 他需要在时间区间[0,T]上的每一时刻决定自己的财富在两种资产上的分配，以最大化其期望末期效用函数，即投资者的目标函数为

maxntE[U(WT)]

其中控制过程{nt},t∈[0,T]是投资者在每一时刻选择的股票的数量，WT是投资者在期末的财富，U(⋅)是投资者的效用函数，在本文中它是

U(x)=−e−γx

其中γ>0是投资者的绝对风险厌恶系数。

在每一时刻t，投资者持有nt单位的股票，并且将余下的资金投入到无风险资产中，因此在一段很短的时间内，投资者财富（受控过程）的变化由他持有的股票价值的变化以及他持有的无风险资产的价值变化构成，即

dWt=r(Wt−ntSt)dt+ntdSt=r(Wt−ntSt)dt+nt(μStdt+σStdzt)=rWtdt+θt(μ−r)dt+θtσdzt

其中θt=ntSt是投资者在t时刻持有风险资产的价值。容易看出，将控制过程从nt变为θt并不会影响问题的结果，因为给定St后，nt与θt是一一对应的。我们将{θt},t∈[0,T]称为投资者的一个策略。

投资策略{θt}的选取范围并不是任意的，比如说它不能让投资者的财富Wt在投资过程中跌到0以下。出于这样的考虑，我们定义一个“可行策略集”（Admissible Set）：

A(W0)={{θt}|Wt≥0,∀t∈[0,T]}

这个集合包含了所有使得从W0>0出发的财富过程始终不小于0的投资策略。投资者对投资策略的选取应当被限制在这个集合当中。

综上所述，可以将投资者的问题总结为

max{θt}∈A(W0)E[U(WT)]dWt=rWtdt+θt(μ−r)dt+θtσdzt

模型求解

最优控制的鞅原则

为了求解这个问题，我们使用最优控制的鞅原则（Martingale Principle of Optimal Control, MPOC）。使用MPOC可以容易地得到这个问题的HJB方程（Hamilton-Jacobi-Bellman Equation）。本文不打算描述这个定理的证明，而是介绍其思想并展示其使用方法。假设随机过程V(t,Wt)对于任意WT>0满足V(T,WT)=U(WT)，且V(t,Wt)是一个上鞅。由于上鞅具有下降的趋势，因此只有把它变成一个鞅（鞅不具有上升或下降的趋势，是上鞅的一种特例），E[U(WT)]=E[V(T,WT)]才能取得最大值。这样，我们的问题就转化为，寻找一个策略{θt∗}，以及一个函数V(t,w)，使得对于任意{θt}，V(t,Wt)是一个上鞅，且V(t,Wt∗)是一个鞅，其中{Wt∗}是在策略（控制过程）{θt∗}下的财富过程（受控过程）。实际上，V(t,w)就是上述随机控制问题的值函数（Value Function）。

HJB方程

为了使V(t,Wt)成为鞅，我们对它取微分，并且令dt项的最大值为0。由伊藤引理可知

dV=Vtdt+VwdWt+12VwwdWtdWt=Vtdt+Vw[rwtdt+θt(μ−r)dt+      θtσdzt]+12Vwwθt2σ2dt=[Vt+rWtVw+θt(μ−r)Vw+      12Vwwθt2σ2]dt+Vwθtσdzt

其中V=V(t,Wt)，Vt=Vt(t,Wt)，Vw=Vw(t,Wt)，Vww=Vww(t,Wt)。Vt,Vw,Vww分别为函数V(t,w)关于t和w的一阶导数和二阶导数。令dt项的最大值为0，即有

0=maxθt[Vt+rWtVw+θt(μ−r)Vw      +12Vwwθt2σ2]

上式就是著名的HJB方程，也称动态规划方程（Dynamic Programming Equation, DPE）。在时刻t，由于投资者当时的财富Wt已知，若还能知道函数V(t,w)的形式，则V及其各阶导函数在(t,Wt)处的值也可以知道。

偏微分方程

这样，上述HJB方程表示的（静态）最优化问题的一阶条件为

(μ−r)Vw+σ2Vwwθt=0

从而投资者在时刻t投资于风险资产的最优资金应为

θt∗=−(μ−r)Vw(t,Wt)σ2Vww(t,Wt)

将这个最优资金回代到上述HJB方程（从而可以去掉max符号），即有

Vt+rWtVw−12(μ−r)2σ2Vw2Vww=0

上式对于任意t∈[0,T]以及任意Wt>0均成立，从而我们得到了一个关于函数V(t,w)的偏微分方程，其具有终值条件(Terminal Condition)

V(T,w)=U(w),    ∀w>0

值函数与最优投资的解析解

下面我们在负指数效用函数的情况下求这个偏微分方程的解，即此时的终值条件为

V(T,w)=−e−γw,    ∀w>0

首先猜测解的形式为

V(t,w)=−α(t)e−γwβ(t)

其中非随机函数α(t),β(t)为待定系数（函数）。结合终端条件可知上面两个待定系数必须满足α(T)=1,β(T)=1。易求得测试解的一阶和二阶偏导数为

Vt(t,w)=e−γwβ(t)[−α′(t)+α(t)γwβ′(t)]Vw(t,w)=e−γwβ(t)γα(t)β(t)Vww(t,w)=e−γwβ(t)[−α(t)β2(t)γ2]

将这些偏导数代入上述偏微分方程，容易得

[−α′(t)+12(μ−r)2σ2α(t)]+   α(t)γw[β′(t)+rβ(t)]=0

由于上式对于任意t∈[0,T]都成立，因此必有如下两个常微分方程成立：

−α′(t)+12(μ−r)2σ2α(t)=0

以及

β′(t)+rβ(t)=0

结合α(T)=1,β(T)=1可得上面两个常微分方程的解为

（）α(t)=e−12(μ−rσ)2（T−t）β(t)=er(T−t)

这样我们就确定了值函数V(t,w)的具体形式。同时，我们还可以求得投资者的最优策略（即在每一时刻投资于股票的资金）为

θt∗=μ−rγσ2e−r(T−t)

结果描述与讨论

可以看出，若股票的风险溢价越高，则投资于股票的资金应该越多；投资者风险厌恶程度越高，则投资于股票的资金应该越少；股票的波动率越高，则投资于股票的资金应该越少；离投资结束的日期越近，则投资于股票的资金应该越多。除此以外，可以发现投资于股票的资金与投资者当前拥有的财富无关，这实际上是负指数效用函数导致的。如果换一种效用函数，则得到的结果便不一定是这样。从严谨的角度来说，在得出结果后，还应验证最优策略确实在可行策略集内，以及值函数过程确实是一个上鞅。