本期在之前对飞艇动力学建模综述的基础上介绍在飞艇的实际动力学建模的应用。选择的是Yuwen Li于2007年发表在AIAA期刊《Journal of Guidance, Control and Dynamics》题为“Modeling and Simulation of Airship Dynamics”的论文。

本文提出了针对飞艇的一套动力学建模方法。将飞行力学，空气静力学，空气动力学融合到动力学建模中。对气动部分，考虑了飞艇的附加质量，粘性效应，艇身与尾翼的气动耦合和轴向阻力。建模对象是Skyship-500飞艇。通过与实际飞行试验对比验证了建模方法的仿真精度。并通过小扰动假设得到线性动力学模型，分析了不同飞行速度下的纵向和横向稳定性。关于建模方法的具体介绍可参考前几期推文。

飞艇运动方程

先建立飞艇6-DOF刚体运动方程，选择体心为体坐标原点，如图1。根据牛顿-欧拉方法：

其中V是飞艇速度和角速度矢量，M是质量矩阵，表示为：

M为系统总质量，J是惯性张量，rg是飞艇重心与体心之间的距离。

方程右边表示飞艇受到的外力和外力矩。下角标I，G和C分别表示惯性力，重力和控制力：

图1 飞艇体坐标系建立

空气静力学

大气与飞艇之间相互作用力分为静力和动力。静力即飞艇浮力，在牛顿-欧拉方程中表示为：

空气动力学

（1）附加质量力和力矩

根据克希霍夫方程：

总附加质量矩阵可以表示为艇身和尾翼的叠加：

按照椭球附加质量计算来近似艇身部分：

其中系数k1，k2和k’是和细长比L/D有关，如图2。

图2 附加质量系数

尾翼附加质量通过对二维尾翼截面附加质量积分得到，如图3所示，截面的附加质量为：

其中k44是R/b的函数，如图4。则对尾翼部分积分后得到：

其中ηf是将尾翼等效为薄平板的效率因子，与尾翼展弦比有关，如图5所示。

图3 尾翼部分截面

图4 k44随R/b变化曲线

图5 效率因子ηf

（2）艇身粘性效应

势能理论由于不考虑粘性带来误差，根据Finck和Hopkins的模型，考虑粘性后：

其中对于转逆位置的预测，根据风洞数据：

速度矢量γ表示为：

同样，考虑粘性后的力矩表示为：

（3）尾翼产生的气动法向力

对于尾翼平面上的一点P，法向力为：

积分后得到尾翼法向气动力：

（4）艇身产生的气动法向力

艇身上沿轴线一小段产生的法向力为：

其中V是空速，ω是尾翼导致的下洗角度。

（5）飞艇阻力

阻力分为艇身和尾翼两部分，分别表示为：

（6）控制面产生的操作力和力矩

对于升力和阻力变化分别有：

对于产生的操作俯仰力矩，由薄翼理论，在1/4处弦长位置：

线性模型

写出状态方程形式：

由小扰动假设：

之后，纵向横向可分开处理，状态矩阵A表示为：

飞艇动力学数值仿真

（1）对于Skyship-500飞艇，升降舵输入和响应结果如图6和图7。

图6 升降舵输入

图7 升降舵偏转后的飞艇俯仰角响应

（2）方向舵输入和响应结果如图6和图7。

图8 方向舵输入

图9 方向舵偏转后的飞艇偏航角响应

（3）稳态转弯，得出飞艇方向舵偏转角度与偏航角速率之间的关系，并与飞行试验对比，如图10所示。

图10 飞艇稳态转弯仿真及试验对比

（4）根据线性动力学方程，绘制Bode图如图11和图12.

图11 俯仰角速率对升降舵输入的频率响应

图12 偏航角速率对方向舵输入的频率响应

（5）稳定性与模态分析

纵向1,2,3阶模态

图13 纵向各阶模态

横向1,2,3阶模态。

图14 横向各阶模态

飞艇动力学建模综述和应用介绍就到这里。