1. 期权的Delta

期权的Delta：期权价格变动与标的物价格变动的比率，即期权价格与标的物价格之间关系曲线的切线斜率，公式如下：

表示期权价格，S 表示标的物价格。

Delta = 0.6 表示：当标的物价格变化一个很小的金额时，相应的期权价格变化约为标的物价格变化的60%。

利用BSM模型的期权定价公式，欧式看涨、看跌的分布如下，具体的过程可以参照:金融分析与风险管理——期权BSM模型。

欧式看涨期权的定价公式：

欧式看跌期权的定价公式：

其中,T 是期权的有效期限，t 是流失的时间。

接下来以欧式看涨期权的多头为例对其进行推导：

其Delta的具体表达式如下：

 

利用Python构建欧式看涨、看跌期权 Delta 的函数：

#期权的Delta
def delta_option(S,K,sigma,r,T,optype,positype):
    '''
    T:期权的剩余期限
    optype:表示期权类型，call看涨、put看跌
    positype:表示期权头寸，long多头、short空头
    '''
    import numpy as np
    from scipy.stats import norm
    d1 = (np.log(S/K)+(r+sigma**2/2)*T)/(sigma*np.sqrt(T))
    if optype == 'call':
        if positype == 'long':
            delta = norm.cdf(d1)
        else:
            delta = -norm.cdf(d1)
    else:
        if positype == 'long':
            delta = norm.cdf(d1) - 1
        else:
            delta = 1 - norm.cdf(d1)
    return delta

#标的价格与delta的关系
S_list = np.linspace(4,8,100)
Delta_call = delta_option(S = S_list,K=6,sigma=0.24,r=0.04,T=0.5,optype='call',positype='long')
Delta_put = delta_option(S = S_list,K=6,sigma=0.24,r=0.04,T=0.5,optype='put',positype='long')

plt.figure(figsize=(12,6))
plt.subplot(1,2,1)
plt.plot(S_list,Delta_call,label='看涨期权多头')
plt.plot(S_list,Delta_put,label='看跌期权多头')
plt.legend()
plt.grid('True')

#期权期限与delta的关系
T_list = np.linspace(0.1,5,100)
Delta_call1 = delta_option(S = 7,K=6,sigma=0.24,r=0.04,T=T_list,optype='call',positype='long')
Delta_call2 = delta_option(S = 6,K=6,sigma=0.24,r=0.04,T=T_list,optype='call',positype='long')
Delta_call3 = delta_option(S = 5,K=6,sigma=0.24,r=0.04,T=T_list,optype='call',positype='long')

plt.subplot(1,2,2)
plt.plot(T_list,Delta_call1,label='实值看涨期权多头')
plt.plot(T_list,Delta_call2,label='平价看涨期权多头')
plt.plot(T_list,Delta_call3,label='虚值看涨期权多头')
plt.legend()
plt.grid('True')

 

2. 期权的Gamma

期权的Gamma：期权Delta变动与标的物价格变动的比率，即Gamma是期权价格关于标的物价格的二阶偏导，公式如下：

欧式看涨期权的表达式推导如下：

欧式看跌期权的表达式推导如下：

利用Python构建欧式看涨、看跌期权Gamma的函数：

#期权的Gamma
def gamma_option(S,K,sigma,r,T):
    import numpy as np
#    from scipy.stats import norm
    d1 = (np.log(S/K)+(r+sigma**2/2)*T)/(sigma*np.sqrt(T))

    return np.exp(-d1**2/2)/(S*sigma*np.sqrt(2*np.pi*T))

#标的价格与Gamma的关系
S_list = np.linspace(4,8,100)
gamma_list = gamma_option(S=S_list, K=6, sigma=0.24, r=0.04, T=0.5) 


plt.figure(figsize=(12,6))
plt.subplot(1,2,1)
plt.plot(S_list,gamma_list)
plt.grid('True')

#期限与Gamma的关系
T_list = np.linspace(0.1,5,100)
gamma1 = gamma_option(S=7, K=6, sigma=0.24, r=0.04, T=T_list)
gamma2 = gamma_option(S=6, K=6, sigma=0.24, r=0.04, T=T_list)
gamma3 = gamma_option(S=5, K=6, sigma=0.24, r=0.04, T=T_list)

plt.subplot(1,2,2)
plt.plot(T_list,gamma1,label='实值看涨期权')
plt.plot(T_list,gamma2,label='平价看涨期权')
plt.plot(T_list,gamma3,label='虚值看涨期权')
plt.legend()
plt.grid('True')

 

3. 期权的Theta

期权的Theta：期权价格变化与时间变化(期权剩余有效期)的比率，公式如下：

欧式看涨期权的表达式推导如下：

欧式看跌期权的表达式推导如下：

在日常的使用中，时间是以天为单位，但是在 BSM 模型中，时间则是以年为单位的，使用该模型计算时，需要把天转化成年，其中“每日历天”是按365天计算的；“每交易日”是按252天计算的。

利用Python构建欧式看涨、看跌期权Theta的函数：

#期权的Theta
def theta_option(S,K,sigma,r,T,optype):
    import numpy as np
    from scipy.stats import norm
    d1 = (np.log(S/K)+(r+sigma**2/2)*T)/(sigma*np.sqrt(T))
    d2 = d1 - sigma*np.sqrt(T)
    theta_call = -(S*sigma*np.exp(-d1**2/2))/(2*np.sqrt(2*np.pi*T)) - r*K*np.exp(-r*T)*norm.cdf(d2)

    if optype == 'call':
        theta = theta_call
    else:
        theta = theta_call + r*K*np.exp(-r*T)

    return theta

#标的价格与Theta的关系
S_list = np.linspace(1,11,100)
theta_list1 = theta_option(S=S_list,K=6, sigma=0.24, r=0.04, T=0.5,optype='call') 
theta_list2 = theta_option(S=S_list,K=6, sigma=0.24, r=0.04, T=0.5,optype='put') 


plt.figure(figsize=(12,6))
plt.subplot(1,2,1)
plt.plot(S_list,theta_list1,label='看涨期权')
plt.plot(S_list,theta_list2,label='看跌期权')
plt.legend()
plt.grid('True')

#期限与Theta的关系
T_list = np.linspace(0.1,5,100)
theta1 = theta_option(S=7, K=6, sigma=0.24, r=0.04, T=T_list,optype='call') 
theta2 = theta_option(S=6, K=6, sigma=0.24, r=0.04, T=T_list,optype='call') 
theta3 = theta_option(S=5, K=6, sigma=0.24, r=0.04, T=T_list,optype='call') 


plt.subplot(1,2,2)
plt.plot(T_list,theta1,label='实值看涨期权')
plt.plot(T_list,theta2,label='平价看涨期权')
plt.plot(T_list,theta3,label='虚值看涨期权')
plt.legend()
plt.grid('True')

 

4. 期权的Vega

期权的Vega：期权价格变化与标的波动率变化的比率，公式如下：

欧式看涨的表达式推导如下：

欧式看跌的表达式推导如下：

利用Python构建欧式看涨Vega的函数：

#期权的Vega
def vega_option(S,K,sigma,r,T):
    import numpy as np
    # from scipy.stats import norm
    d1 = (np.log(S/K)+(r+sigma**2/2)*T)/(sigma*np.sqrt(T))

    return S*np.sqrt(T)*np.exp(-d1**2/2)/np.sqrt(2*np.pi)

vega = vega_option(S=5.8, K=6, sigma=0.24, r=0.04, T=0.5)

#标的价格与Vega
S_list = np.linspace(3,10,100)
vega_list = vega_option(S=S_list, K=6, sigma=0.24, r=0.04, T=0.5)

plt.figure(figsize=(12,6))
plt.subplot(1,2,1)
plt.plot(S_list,vega_list)
plt.grid('True')

#期限与Vega
T_list = np.linspace(0.1,5,100)
vega1 = vega_option(S=8, K=6, sigma=0.24, r=0.04, T=T_list)
vega2 = vega_option(S=6, K=6, sigma=0.24, r=0.04, T=T_list)
vega3 = vega_option(S=4, K=6, sigma=0.24, r=0.04, T=T_list)

plt.subplot(1,2,2)
plt.plot(T_list,vega1,label='实值看涨期权')
plt.plot(T_list,vega2,label='平价看涨期权')
plt.plot(T_list,vega3,label='虚值看涨期权')
plt.legend()
plt.grid('True')

 

5. 期权的Rho

期权的Rho：期权价格变化与无风险收益率变化的比率，公式如下：

欧式看涨的表达式推导如下：

欧式看跌期权的表达式推导如下：

利用Python构建欧式看涨期权 Rho 的函数：

#期权的Rho
def rho_option(S,K,sigma,r,T,optype):
    import numpy as np
    from scipy.stats import norm
    d1 = (np.log(S/K)+(r+sigma**2/2)*T)/(sigma*np.sqrt(T))
    d2 = d1 - sigma*np.sqrt(T)

    if optype == 'call':
        rho = K*T*np.exp(-r*T)*norm.cdf(d2)
    else:
        rho = -K*T*np.exp(-r*T)*norm.cdf(-d2)

    return rho

#标的价格与rho
S_list = np.linspace(3,10,100)
rho_list1 = rho_option(S=S_list, K=6, sigma=0.24, r=0.04, T=0.5,optype='call')
rho_list2 = rho_option(S=S_list, K=6, sigma=0.24, r=0.04, T=0.5,optype='put')

plt.figure(figsize=(12,6))
plt.subplot(1,2,1)
plt.plot(S_list,rho_list1,label='看涨期权')
plt.plot(S_list,rho_list2,label='看跌期权')
plt.legend()
plt.grid('True')

#期限与rho
T_list = np.linspace(0.1,5,100)
rho1 = rho_option(S=8, K=6, sigma=0.24, r=0.04, T=T_list,optype='call')
rho2 = rho_option(S=6, K=6, sigma=0.24, r=0.04, T=T_list,optype='call')
rho3 = rho_option(S=4, K=6, sigma=0.24, r=0.04, T=T_list,optype='call')

plt.subplot(1,2,2)
plt.plot(T_list,rho1,label='实值看涨期权')
plt.plot(T_list,rho2,label='平价看涨期权')
plt.plot(T_list,rho3,label='虚值看涨期权')
plt.legend()
plt.grid('True')