英国经济学家马尔萨斯根据一百多年的人口统计资料，1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口指数增长模型。他的基本假设是：人口在自然增长的过程中，单位时间内人口的增长量与人口成正比

指数增长模型

单位时间内人口的增长量：

 

与人口成正比

 

 

令△t→0，得dy/dt=ky

解：分离变量得dy/dt=kdt，两边积分有∫dy/y=kt

ln|y|=kt+lnC 记任意常数为lnC，

两边转化为指数函数e^ln|y|=e^kt+lnC=e^kt*e^lnC

|y|=Ce^kt或y=±Ce^kt 故y=C1e^kt

一、可分离变量的微分方程

一般地形如：dy/dx=f(x)g(y)的微分方程，称为可分离变量的方程.

f(x),g(x)分别是变量x，y的已知连续函数。

求解步骤：第一步：分离变量 dy/g（y）=f(x)dx

第二步：两边积分 ∫dy/g（y）=∫f（x）dx

例2：下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？

(1) y'=2xy 是 （2）3x^2+5x-y'=0 是 （3）（x^2+y^2）dx-xydy=0 不是

（4）y'=1+x+y^2+xy^2 y'=(1+x)(1+y^2) 是 （5）y'=10^x+y 10^-ydy=10^xdx 是

（6）y'=x/y+y/x 不是

例3：求微分方程dy/dx=2xy的通解.

解：分离变量得 1/y dy=2xdx

两边积分得 ∫1/y dy=∫2xdx

即ln|y|=x^2+lnC

因为x^2=lne^2

所给方程的通解 y=Ce^x^2

二、齐次微分方程

一阶微分方程的一般形式：

一阶微分方程

如果一阶微分方程dy/dx=f(x,y)中的函数f（x,y）可写成y/x的函数，即f(x,y)=φ（y/x）,则称此方程为齐次方程.

拓展：齐次函数

如果函数f(x,y)满足f（tx，ty）=t^n f(x,y)

例4：f（x,y）=3y^2+3x^2-5xy 齐次函数

如果M（x,y）,N(x,y)是同齐次函数

则M（x,y）dx+N(x,y)dy=0是齐次微分方程

例如:(x^2+y^2)dx+2xydy=0 dy/dx=-(x^2+y^2)/2xy=-[1+(y/x)^2]/2(y/x)

例5：1.（x^2+y^2）dx-xydy=0 dy/dx=(x^2+y^2)/xy→dy/dx=x/y+y/x,是.

2.（2x+y-4）dx+(x+y-1)dy=0 dy/dx=-(2x+y-4)/x+y-1,不是.

齐次微分方程的解法：

 

（1）

 

（2）

 

（3）

 

（4）

 

（5）

例6

求微分方程（x+y）dx+xdy的通解

解：方程可改写dy/dx=-(x+y)/x=-1-y/x

设u=y/x,y=ux,则dy/dx=x*du/dx代入方程，得x*du/dx+u=-1-u

分离变量得 du/-1-2u=dx/x

积分，得 ∫du/1+2u=-∫dx/x

1/2ln|1+2u|=-ln|x|+1/2ln|C|

1+2u=c/x^2

变量还原，得 x^2+2xy=C