我们知道项目评估的工具包括净现值NPV、静态回收期、动态回收期、内涵报酬率IRR等，本文主要介绍内涵报酬率IRR以及修订后的内涵报酬率MIRR，并辨析它们的关系。

一、内涵报酬率IRR

1、内涵报酬率概念

内涵报酬率IRR是项目投资评估工具之一，它是让项目初始投资和后期回报产生的净现值为0、项目本身的回报率，其决策的依据就在于，如果IRR大于资金成本，则项目即可接受该项目并进行投资。

下面，我们具体说一下内涵报酬率的计算方法。

2、计算方法

（1）插值法

对于较为粗略的计算方法，我们可以假设回报率与NPV之间符合线性负相关关系，所以，实际的插值法本身就是解线性方程的过程，基本步骤包括：

图表1：线性插值法计算逻辑

a、根据某一个较低回报率a的计算一个较高的NPVa

b、根据某一个较高回报率b的计算一个较高的NPVb

c、然后根据线性插值法计算一个大致的IRR

具体公式可以表示如下：

图表2：IRR插值法公式

我们可以用一个例子来说明一下：

a、当折现率（回报率）为12%，下述现金流对应的NPVa为1150。

图表3：折现率为12%时的NPV

b、当折现率（回报率）为15%，下述现金流对应的NPVb为1150

图表4：折现率为15%时的NPV

c、根据插值法公式：

IRR=12%+(15%-12%)/(1150-723)*1150=20.08%

需要注意的是，NPV与折现率（回报率）之间并不完全是线性相关，用插值法计算的IRR只是一个初略值，仅用作参考。

（2）Excel计算方法

IRR的Excel公式计算非常简单，将涉及现金流的单元格全部拉到公式中去即可，如下

图表5：Excel的IRR公式

根据公式，IRR=21.05%，与插值法计算的结果相比Excel公式法计算的20.08%更为精确，且数额更大一些，说明回报率（折现率）与NPV的关系并非线性关系，而是一种外凸的曲线负相关，具体如下：

图表6：回报率与NPV的非线性关系

因此，准确来说，插值法只是一种近似求值的方法，更精准的计算方法需要依靠excel的IRR公式，或者下面的金融计算器。

（3）金融计算器

这里推荐使用的金融计算器BA II PLUS（CFA考试专用，也可用于FRM以及一些理财类的专业考试如AFP、CFP以及CIIA等考试），其功能非常强大，具有货币时间价值计算功能（如PV、FV、年金终值和现值的计算）；现金流计算功能（如NPV和IRR等）债券计算功能（如债券价值和到期收益率）；统计计算功能，以及折旧摊销计算功能等。

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根据上面的数据，我们按照下面的方式进行计算：

图表7：运用BA II PLUS来计算IRR

最后计算的结果也是21.05%，与Excel计算的方式一致。这里，因为每期现金流不一样，因此需要多次输入，但如果符合后续每期的现金流一样的话，有更加快捷的输入方式，而且也可以直接计算NPV，这里不再赘述，感兴趣的可以自己买个金融计算器学一下。

3、评价

（1）不符合实际的潜在假设

计算IRR的时候，隐含着一个假设，即收回的现金流后续仍按照IRR进行再投资，但这个并不一定符合现实，因此会夸大实际的内涵报酬率IRR，我们可以看看这个假设是如何进行的：

图表8：回报期现金流再投资计算

我们可以从图表中看到在IRR=21.05%的再投资率下，最后的终值为10760，因此总回报为10760/4140=2.599，根据几何平均值计算公式，其年化收益率=power(2.599,1/5)-1=21.05%。

这里说明一下，以第一年的回报743为例，假设后面的4年均以21.05%的回报率进行再投资，属于一个年金终值计算的方式，后面各年也是如此，只是再投资的期限逐渐递减。

二、修订后的内含报酬率MIRR

1、概念

如上面提到的IRR计算方法隐含的假设条件是后续的回报期各现金流的再投资回报率是IRR，这个假设不太符合实际情况，而MIRR（Modified IRR）则修正了这个假设，改为再投资回报率按照企业最小的必要报酬率进行再投资，这里用的最小必要报酬率一般是企业的加权资金成本。

2、计算方法

（1）现金流计算法

我们假设企业的加权资本成本为12%，即再投资率为12%，则MIRR的计算方法如下：

图表9：MIRR的计算

这里，后续回报期间的所有现金流再投资的终值汇总为9323，则总回报率=9323/4140=2.252，根据几何平均值计算公式，其MIRR=power(2.252,1/5)-1=17.63%。

（2）公式法

MIRR的公式计算方法如下：

图表10：MIRR的公式计算法

这里，n代表项目年限，i代表资本成本。

图表11：MIRR的公式计算

需要重点关注的是，我们在计算现值的时候，用的折现率是投资者要求的最低必要报酬率，即本案例中的资本成本12%。

根据上面的图表，以及前面的假设，MIRR=power[(5290/4140),1/5]*(1+12%)-1=17.63%，与现金流计算方式一致。

3、评价

与IRR类似，MIRR的决策依据也是当MIRR>资本成本时，项目即是可行的，但MIRR计算出来的结果更加符合实际，因此也更加有助于项目的投资者做出合理的投资决策。

三、二点结论

1、MIRR能避免IRR那种不符合实际的潜在假设。如前所述，IRR的计算过程是假设后续回报期间的现金流再投资回报率仍然是IRR，这个潜在假设并不符合实际，相当于是夸大了实际的内含报酬率。而MIRR则假设再投资回报率是投资者要求的最低必要报酬率，即资本成本，会更加贴合实际。

2、MIRR会避免IRR那种存在多重值的情况。假设存在初始投资CF0和二期回报期现金流CF1和CF2，那么IRR公式可表示如下：

图表12：二期现金流IRR计算公式

很显然，在给定定值的CF0、CF1和CF2的情况下，这是一个变量为IRR的一元二次方程，其中IRR必须为正值，而只需要当CF2<0的时候，按照初中数学学习的内容，IRR就很可能存在2个正值，从而导致IRR出现双重值的可能性；继续推演开来，当有多期现金流回报时，则IRR计算公式就相当于是以IRR为变量的一元多次方程，在后续现金流满足一定条件的情况下，肯定也会存在多元解的可能性；而根据MIRR的计算公式，无论是公式法还是现金流计算方法，只会出现一个值，更具有实操性。