1.引言

人口问题是本世纪人类所面临的重大问题之一，相信不少人都听说过“人口爆炸”这个词。这个词最早出现在斯坦福大学生物学教授保罗·艾里奇(PaulEhrlich)于1968年出版的一书《人口爆炸》中，指的是现代世界人口增长超过了土地和自然资源的承载力，必然会导致一系列的人类生存危机。

这一说法是有统计数字做支持的，地球人口从10亿到20亿用了100多年，从20亿到40亿用了不到70年，而在2012年，世界人口已经突破了70亿，据预测到本世纪中叶世界人口可能超过100亿，很多人认为地球是无法承载这么多人口的，这才有了所谓的“人口爆炸”理论。社会学家和统计学家利用各种工具与理论来研究人口增长，为人类的未来寻找出路。

东京街头拥挤的人潮

人口爆炸理论是西方学者关于人类未来的一种悲观预测，不过也有不少反对观点。当然，本文不打算陷入社会学和人口学的争论当中，只是来讨论一下数学家是怎么研究人口增长问题的。

而从数学的角度来研究人口增长，是始于18世纪。主要方法就是建立数学模型，通过对既有的人口数据进行拟合，来预测未来的人口数据。建立模型所使用的工具就是微分方程(differential equation)，从最简单的指数增长模型开始，不断地往里面加入新的因素，比如，环境容量，人口迁徙，年龄结构等等因素，到如今模型已经变得非常复杂。我们今天就来简单介绍一下三种最基本的模型。

2.指数增长模型(exponential growth model)

指数增长模型是最早的，也是最简单的人口增长模型，它是由英国人口学家、经济学家马尔萨斯(Thomas Robert Malthus，1766~1834)提出来的。因此也叫马尔萨斯模型。

马尔萨斯肖像

马尔萨斯1766年生于英国的一个贵族家庭，1784年进入剑桥大学，1798年成为牧师，并开始进行人口学研究，1805年成为英国第一位经济学教授。

马尔萨斯的代表著作是出版于1798年的《人口论》（Principle of Population），也翻译成《人口原理》。在这部书里他提出一个重要理论：在不加限制的情况下，人口将呈几何级数增长，而生产资料呈算术级数增长。这里的几何级数和算术级数听起来可能比较陌生，但它实际上就是等比数列和等差数列的意思。而等比数列对应到函数里面就是指数函数(exponential function)，因此这个模型也成为指数增长模型。

那么具体是如何计算的呢？这就需要使用到微分方程的知识了。先明确一下自变量，我们用 t 来表示时间。它的单位根据研究的问题而定，比如统计年份的人口时我们可以把t的单位设成年。

人口增长模型名为“人口”，但实际上研究的不一定是人，动物、微生物等的数量增长，也可以用这个模型，比如生态学家在研究大森林里生活的狼的数量。因此在研究这些问题时，有的时候 t 的单位是月，有的时候是天，甚至对于研究某些细菌增长来讲，它的单位可能就是小时。

我们用 y 来表示人口总量，它随着时间的增长而增长，因此y是一个关于t的函数，我们写成y(t)。

模型的假定是：某一时刻人口的增长率和该时刻的人口总量成正比，比例常数我们记为k，而人口增长率即是y关于t的导数，于是我们可以得到微分方程：

这个微分方程非常简单，是典型的可分离变量型的微分方程，所以我们就利用分离变量法(seperation of varible)进行求解：

经过化简可以得到最终结果：

其中C为某个常数可以看出当t等于0的时候，y的值就是C，所以C表示的就是初始人口。

这是一个典型的指数函数，k的值根据所研究的问题来决定，它也越大，增长的速度也就越快，当然k也有可能是负值，这样的话人口就是负增长的。这时我们就把它称为衰减模型。我们知道，指数函数的图像增长速度是非常快的，比如初始人口是500，k是0.4时，它的图像如下：

马尔萨斯的理论对后世产生了深远的影响，按照他的理论，指数增长的速度要远远快于线性增长，通俗的讲，就是说人口的增长要远远快于粮食的增长，因此迟早会出现粮食供应不足的情况，最底层的人就会被饿死。这就是所谓的“马尔萨斯陷阱”。

1972年，一个由全球著名专家学者组成的国际性民间学术组织——罗马俱乐部，发表了一份研究报告，名字叫做《增长的极限》。在报告中，以经济学家丹尼斯·米都斯(Dennis L．Meadows)为代表的专家认为，人类的经济增长不可能无限持续下去，因为环境与能源的供应是有限的，工业社会的经济增长付出的代价过大，而且已经没有发展的空间了。

丹尼斯·米都斯在报告中总结到：

1、如果在世界人口数量、工业化进程、环境污染、粮食生产、资源消耗等方面按现在的趋势继续下去，地球上增长的极限将在今后100年中发生。最可能的结果，是人口数量和工业生产力出现不可控制的衰退。

2、改变这种增长趋势，建立稳定的生态环境和经济条件，以支撑遥远的未来是可能的——使每个人的基本物质需要得到满足，并且都有实现个人潜力的机会。

3、如果全人类决心追求第二种结果，他们为达到这种结果而开始工作得愈快，他们成功的可能性就愈大。

这一报告是人类环保领域的重要文献，它也是受到马尔萨斯理论的影响的。

3. 约束增长模型(restricted growth model)

马尔萨斯模型的缺陷是很明显的，其实马尔萨斯本人都指出来，维持人口指数增长的前提条件是资源无限供应，但这在现实生活中是不可能的。

马尔萨斯身处的年代，正值英国的工业革命方兴未艾，社会生产力得到前所未有的飞速发展，同时大英帝国向海外疯狂地进行殖民扩张。在这种情况下，资源的确可以看成是无限的。但是当全世界的经济都发展起来以后，能源危机逐渐凸显，环境问题日益加剧。于是人们不得不考虑资源有限时的人口增长的问题。这种情况下，我们使用的就是约束增长模型(restricted growth model)。

约束增长模型的思想很简单，就是我们引入了一个叫环境容量(capacity)的常量，它表示的就是在研究的环境中所能容纳的最多的人口数量。

比如一个池塘里面最多能盛2万条鱼，那么这个池塘的环境容量就是2万。鱼的数量不能超过2万，如果一旦超过2万，则会有大批死亡，进而降低到2万以下。环境容量我们用字母A来表示。

还是考虑这个池塘，有两种情况：第1种情况，池塘里有500条鱼；第2种情况，池塘里有19999条鱼，在这两种情况下，哪一个的增长率更高呢？

显然第1种情况下增长率更高，因为这时池塘还有很大的空间，鱼可以尽情地增长，但是第2种情况再增长1条就增长不下去了。这就是约束增长模型的假定：人口增长率与剩余的增长空间成正比。剩余的增长空间是A-y，比例系数仍为k，由此我们就得到了约束增长模型所对应的微分方程：

同样是一个可分离变量的微分方程，利用分离变量法求得最终结果：

它的图像是下面这个样子：

从图形可以明显的看出来，人口增长率经历了一个由快到慢的过程，越接近环境容量时增长率越低，到最后几乎就是停止增长了。

4. 逻辑斯蒂增长模型(Logistic Growth Model)

约束增长模型更多地适用于封闭环境下的人口增长，但事实上，随着人类科学技术的进步与生产力的发展，上面两个模型都不足以满足研究的需要。指数增长模型虽然预言了马尔萨斯陷阱，但它没有考虑到人类科技的进步会导致生活资料也有可能呈指数增长。而约束增长模型只考虑了剩余的增长空间，而没有意识到在人口数量很少时，其实它可以近似看成资源无限的情形。

因此，综合考虑上面两个模型，1838年，荷兰数学家Verhulst提出了第三种模型，就是所谓的逻辑斯蒂增长模型，这名字是从“Logistica”这个拉丁文单词音译过来的，它原有的含义是计算艺术，现在的含义是数理逻辑，因此这个名称的大意就是符合逻辑的意思。

逻辑斯蒂模型就是综合了上面两个研模型所涉及到的研究因素，人口增长率既与现有人口有关，也与剩余的增长空间有关，于是它的微分方程如下：