在本文中，我将介绍两个能够对时间序列进行建模的模型：随机游走和移动平均过程。

随机游走模型

随机游走模型由以下公式表示:

 

换句话说，当前时刻t的位置是前一时刻（t-1）的位置与噪声（用z表示）之和。这里我们假设噪声是正态分布的（均值为0，方差为1）。

我们从0开始随机游走，也就是说，任何时间点都是该时间之前所有噪声的和。数学上表示为：

 

让我们在Python中模拟随机游走。

首先，我们导入所需的Python库：

from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf
from statsmodels.tsa.arima_process import ArmaProcess
from statsmodels.tsa.stattools import acf
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

%matplotlib inline

然后，我们生成一个包含1000个数据点的数据集。起点是0，我们将随机噪声添加到上一个点以生成下一个点：

steps = np.random.standard_normal(1000)
steps[0]=0
random_walk = np.cumsum(steps)

绘制数据集的Python代码如下：

plt.figure(figsize=[10, 7.5]); # Set dimensions for figure
plt.plot(random_walk)
plt.title("Simulated Random Walk")
plt.show()

模拟随机游走

你的随机行走可能与上面的图不同，因为噪声是随机的。

现在，让我们看看我们的随机游走的自相关图(或相关图):

random_walk_acf_coef = acf(random_walk)
plot_acf(random_walk, lags=20);

随机游走的相关图

不管你的随机游走看起来像什么，你都应该得到一个非常相似的相关图。

现在，一切都指向数据集中的趋势。我们可以改变这种趋势吗?答案是肯定的。

让我们在Python中进行验证。

random_walk_diff = np.diff(random_walk, n=1)

然后我们绘制结果：

plt.figure(figsize=[10, 7.5]); # Set dimensions for figure
plt.plot(random_walk_diff)
plt.title('Noise')
plt.show()

 

如您所见，上面的图没有趋势，也没有季节性，是一个完全随机的过程。

查看相关图的python代码如下：

plot_acf（random_walk_diff，lags = 20）;

 

我们看到这是一个纯随机过程的相关图，其中自相关系数在滞后1处下降。

移动平均过程

我们先来直观了解一下什么是移动平均过程。

假设你把一块石头扔进一个池塘里，你要追踪水面上一滴水的位置。当石头撞击水面时，会形成波纹，所以我们要跟踪的水滴会上下移动。让我们假设波纹只持续两秒钟，在这两秒钟之后，水面就会完全变平。

我们的水滴位置可以表示为:

 

上面的方程表示，X在t时刻的位置取决于t时刻的噪声，加上t-1时刻的噪声(有一定的权重THETA)，加上t-2时刻的噪声(有一定的权值)。

这被称为二阶移动平均过程，可以表示为MA(2)。

通用表示法是MA（q）。在上面的示例中，q = 2。

让我们在Python中模拟此过程。具体来说，我们将模拟以下过程：

 

这是一个二阶移动平均过程，我们指定了权重。您可以随意更改权重，并对参数进行试验。

我们从指定滞后开始，我们用的是2。

ar2 = np.array（[2]）

然后，我们指定权重，权重为[1、0.9、0.3]。

ma2 = np.array([1, 0.9, 0.3])

最后，我们模拟该过程并生成1000个数据点：

MA2_process = ArmaProcess(ar2, ma2).generate_sample(nsample=1000)

现在，让我们可视化该过程及其相关图：

plt.figure(figsize=[10, 7.5]); # Set dimensions for figure
plt.plot(MA2_process)
plt.title('Moving Average Process of Order 2')
plt.show()

plot_acf(MA2_process, lags=20);

 

由于噪声是随机产生的，因此您的图形可能与我的不同。但相关图应与下图类似：

 

正如您所注意到的，相关性在滞后2之前是显著的。这很有意义，因为我们指定了滞后为2。

这意味着您可以使用相关图来推断时间序列的滞后。如果您看到滞后q之后相关性并不显著，那么您可以将时间序列建模为MA(q)过程。

最后

通过本文，您了解了随机游走是什么以及如何对其进行模拟。此外，您还学习了移动平均过程，并了解了如何对其建模。